已知某直线过点$(4,2,3)$,平行于平面$3x+2y-z=0$,垂直于直线

\begin{equation}

  \begin{cases}

    x+2y-z=5\\

z=10\\

  \end{cases}

\end{equation}

求该直线方程.

解：直线

  \begin{equation}

    \begin{cases}

      x+2y-z=5\\

z=10\\

    \end{cases}

  \end{equation}

的标准方程为

\begin{equation}

    \frac{x-7}{-2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-10}{0}

\end{equation}

可见该直线的方向向量为$(-2,1,0)$.设某直线的方向向量为

$(x_0,y_0,z_0)$.则

\begin{equation}

  -2x_0+y_0=0

\end{equation}

平面$3x+2y-z=0$的法向量为$(6,4,-2)$.可见

\begin{equation}

  6x_0+4y_0-2z_0=0

\end{equation}

所以某直线的方向向量可以为$(1,2,7)$.因此该直线方程为

\begin{equation}

  \frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{7}

\end{equation}